1．算术平方根等于它本身的数是( )
A．1和0 B．0 C．1 D．±1和0
2．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是( )
A．6、8、10 B．5、12、13 C．12、18、22 D．9、12、15
3．在下列各数 ；0； ；3π； ， ，1.1010010001…，无理数的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列说法中正确的是( )
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以BC2+AC2=AB2
D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以BC2+AC2=AB2
5．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
6．下列无理数中，在﹣2与1之间的是( )
A．﹣ B．﹣ C． D．
7．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为( )
A．32 B．42 C．32或42 D．以上都不对
8．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于( )
A．2 B．8 C． D．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．写两组勾股数组．__________，__________．
10．已知：若 ≈1.91， ≈6.042，则 ≈__________，± ≈__________．
11．0.003 6的平方根是__________， 的算术 平方根是__________．
12．若a、b均为正整数，且a＞ ，b＜ ，则a+b的最小值是__________．
13．有一个长为l2cm，宽为4cm，高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔最长是__________．
14．已知|a﹣5|+ =0，那么a﹣b=__________．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．
16 ．在直角三角形中，如果有两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边的长为__________．
三、解答题（每题4分，共12分）
17．（1） + ﹣ ；
（2）（3+ ）（2﹣ ）．
四．解答题（18题6分，19题6分，共12分）
18．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求 的值．
19．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．
五．解答题（每题各8分，共24分）
20．如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB=90°，AB=5km，BC=4km，若每天凿隧道0.2km，问几天才能把隧道AC凿通？
21．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求12a+2b的立方根．
22．如图，一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，求CD的长．
六．解答题（本题满分10分）
23．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=BB′=2，AD=3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
七．解答题（本题满分10分）
24．（一）阅读下面内容：
= = ；
= = ﹣ ；
= = ﹣2．
（二）计算：
（1） ；
（2） （n为正整数）．
（3） + + +…+ ．
辽宁省沈阳市高坎中学2014-2015学年八年级上学期第一次月考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题2分，共16分）
1．算术平方根等于它本身的数是( )
A．1和0 B．0 C．1 D．±1和0
考点：算术平方根．
分析：根据算术平方根的定义即可确定．
解答： 解：算术平方根等于本身的数有：0，1．
故选A．
点评：本题考查了算术平方根的定义，是需要熟记的内容．
2．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是( )
A．6、8、10 B．5、12、13 C．12、18、22 D．9、12、15
考点：勾股定理的逆定理．
分析：利用勾股定理的逆定理即可求解．
解答： 解：A、∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；
B、∵52+122=132，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；
C、∵122+182≠222，∴此三角形不是直角三角形，故选项正确；
D、∵92+122=152，∴此三角形为直角三角形，故选项错误．
故选C．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．在下列各数 ；0； ；3π； ， ，1.1010010001…，无理数的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：无理数．
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解答： 解： =3，0是整数，是有理数；
﹣0. ， 是分数，是有理数；
，3π，1.1010010001…是无理数．
故选B．
点评：此题主要考查了 无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．下列说法中正确的是( )
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以BC2+AC2=AB2
D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以BC2+AC2=AB2
考点：勾股定理．
分析：以a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角形，得出A不正确；
由直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，得出B 不正确；
由勾股定理得出C正确，D不正确；即可得出结论．
解答： 解：A不正确；
∵以a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角形，
∴A不正确；
B不正确；
∵直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
∴B不正确；
C正确；
∵∠C=90°，
∴AB为斜边，
∴BC2+AC2=AB2，
∴C正确；
D不正确；
∵∠B=90°，
∴AC为斜边，
∴AB2+BC2=AC2，
∴D不正确；
故选：C．
点评：本题考查了勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
5．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
考点：相似三角形的性质．
分析：根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．
解答： 解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形 相似，因而得到的三角形是直角三角形．
故选C．
点评：本题主要考查相似三角形的判定以及性质．
6．下列无理数中，在﹣2与1之间的是( )
A．﹣ B．﹣ C． D．
考点：估算无理数的大小．
分析：根据无理数的定义进行估算解答即可．
解答： 解：A. ，不成立；
B．﹣2 ，成立；
C. ，不成立；
D. ，不成立，
故答案为：B．
点评：此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
7．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为( )
A．32 B．42 C．32或42 D．以上都不对
考点：勾股定理．
专题：分类讨论．
分析：作出 图形，利用勾股定理列式求出AD、BD，再分CD在△ABC内部和外部两种情况求出AB，然后根据三角形的周长的定义解答即可．
解答： 解：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，
∴AD= = =9，
BD= = =5，
如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，
此时，△ABC的周长=14+13+15=42，
如图2，CD在△AB C外部时，AB=AD﹣BD=9﹣5=4，
此时，△ABC的周长=4+13+15=32，
综上所述，△ABC的周长为32或42．
故选C．
点评：本题考查了勾股定理，难点在于分情况讨论求出AB的长，作出图形更形象直观．
8．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y等于( )
A．2 B．8 C． D．
考点：算术平方根．
专题：压轴题；图表型．
分析：根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再 输入得其算术平方根是 ，是无理数则输出．
解答： 解：由图表得，
64的算术平方根是8，8的算术平方根是 ；
故选D．
点评：本题考查了算术平方根的定义，看懂图表的原理是正确解答的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．写两组勾股数组．3、4、5，5、12、13．
考点：勾股数．
专题：开放型．
分析：根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，写出即可．
解答： 解：两组勾股数组可以是：3、4、5，5、12、13．
故答案为：3、4、5，5、12、13（答案不）．
点评：本题考查了勾股数的定义，注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
10．已知：若 ≈1.91， ≈6.042，则 ≈604.2，± ≈±0.0191．
考点：算术平方根；平方根．
分析：根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
解答： 解：若 ≈1.910， ≈6.042，
则 ≈604.2，± ≈±0.0191．
故答案为：604.2，0.0191．
点评：本题考查了算术平方根，利用被开方数与算术平方根的关系是解题关键．
11．0.003 6的平 方根是±0.06， 的算术平方根是3．
考点：算术平方根；平方根．
分析：利用平方根和算术平方根的定义求解即可．
解答： 解：∵（±0.06）2=0.0036，
∴0.0036的平方根是±0.06；
∵92=81，
∴ =9，
故9的算术平方根是3．
故答案为±0.06，3．
点评：此题主要考查了算术平方根、平方根的定义．解题时注意正数的平方根有2个，算术平方根有1个．
12．若a、b均为正整数，且a＞ ，b＜ ，则a+b的最小值是4．
考点：估算无理数的大小．
分析：先估算 、 的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b的最小值．
解答： 解：∵ ，
∴2 ，
∵a ，a为正整数，
∴a的最小值为3，
∵ ，
∴1＜ ＜2，
∵b＜ ，b为正整数，
∴b的最小值为1，
∴a+b的最小值为3+1=4．
故答案为：4．
点评：此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．
13．有一个长为l2cm，宽为4cm，高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔最长是13cm．
考点：勾股定理的应用．
分析：本题根据题目中所给的信息，可以构造出直角三角形，再利用勾股定理解答即可．
解答： 解：铅笔的长为 = =13cm．
故答案为：13cm．
点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
14．已知|a﹣5|+ =0，那么a﹣b=8．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
分析：首先据绝对值和 二次根式的非负性可知，两个非负数相加为0，意味着每个式子都为0，求出a和b，代入a﹣b计算即可．
解答： 解：∵|a﹣5|+ =0，
∴a﹣5=0，b+3=0，
解得a=5，b=﹣3．
∴a﹣b=5+3=8．
故答案为：8．
点评：此题主要考查了非负数的性质，注意掌握绝对值和二次根式的非负性．根据它们的非负性求解．
15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．
考点：勾股定理．
分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于正方形的面积．
解答： 解：由图形可知四个小正方形的面积和等于正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
点评：熟练运用勾股定理进行面积的转换．
16．在直角三角形中，如果有两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边的长为5或4．
考点：勾股定理．
专题：计算题．
分析：先直接根据勾股定理即可求得斜边的长，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．
解答： 解：①当3和4均为直角边时，斜边= =5；
②当3为直角边，4为斜边时，斜边=4．
故答案为：5或4．
点评：此题主要考查勾股定理的知识，注意要分两种情况讨论．
三、解答题（每题4分，共12分）
17．（1） + ﹣ ；
（2）（3+ ）（2﹣ ）．
考点：二次根式的混合运算．
专题：计算题．
分析：（1）先把各二次根式化简，然后合并即可；
（2）利用多项式乘法展开，然后合并即可．
解答： 解：（1）原式= +3 ﹣3
= ﹣3；
（2）原式=6﹣3 +2 ﹣5
=1﹣ ．
点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
四．解答题（18题6分，19题6分，共12分）
18．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求 的值．
考点：实数的运算．
分析：由a、b互为倒数可得ab=1，由c、d互为相反数可得c+d=0，然后将以上两个代数式整体代入所求代数式求值即可．
解答： 解：依题意得，ab=1，c+d=0；
∴
=
=﹣1+0+1
=0．
点评：本题主要考查实数的运算，解题关键是运用整体代入法求代数式的值，涉及到倒数、相反数的定义，要求学生灵活掌握各知识点．
19．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．
分析：根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．
解答： 解：如图，连接AC．
∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，
∴AC= =10（cm）．
∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD= ×10×24﹣ ×6×8=96（cm2）．
点评：本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．
五．解答题（每题各8分，共24分）
20．如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB=90°，AB=5km，BC=4km，若每天凿隧道0.2km，问几天才能把隧道AC凿通？
考点：勾股定理的应用．
分析：根据勾股定理可得AC= ，代入数进行计算即可．
解答： 解：∵∠ACB=90°，AB=5km，BC=4km，
∴AC= = =3（km），
3÷0.2=15 （天）．
答：15天才能把隧道AC凿通．
点评：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
21．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求12a+2b的立方根．
考点：立方根；平方根；算术平方根．
分析：分别根据2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求出a、b的值，再求出12a+2b的值，求出其立方根即可．
解答： 解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1=（±3）2，解得a=5；
∵3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴3a+b﹣1=16，把a=5代入得，3×5+b﹣1=16，解得b=2，
∴12a+2b=12×5+4=64，
∴ =4，
即12a+2b的立方根是4．
点评：本题考查的是立方根、平方根及算术平方根的定义，根据题意列出关于a、b的方程，求出a、b的值是解答此题的关键．
22．如图，一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，求CD的长．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：方程思想．
分析：先根据勾股定理求出AB的长，设CD=xcm，则BD=（8﹣x）cm，再由图形翻折变换的性质可知AE=AC=6cm，DE=CD=xcm，进而可得出BE的长，在Rt△BDE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出CD的长．
解答： 解：∵△ABC是直角三角形，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB= = =10cm，
∵△AED是△ACD翻折而成，
∴AE=AC=6cm，
设DE=CD=xcm，∠AED=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4cm，
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，
即（8﹣x）2=42+x2，
解得x=3．
故CD的长为3cm．
点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，解答此类题目时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
六．解答题（本题满分10分）
23．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=BB′=2，AD=3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
考点：平面展开-最短路径问题．
分析：做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，由于在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
解答： 解：如图1所示：
由题意得：AD=3，DC′=2+2=4，
在Rt△ADC′中，由勾股定理得AC′= = =5，
如图2所示：
由题意得：AC=5，C′C=2，
在Rt△ACC′中，由勾股定理得； = ，
∵ ．
∴第一种方法蚂蚁爬行的路线最短，最短路程是5．
点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的路线．
七．解答题（本题满分10分）
24．（一）阅读下面内容：
= = ；
= = ﹣ ；
= = ﹣2．
（二）计算：
（1） ；
（2） （n为正整数）．
（3） + + +…+ ．
考点：分母有理化．
专题：阅读型．
分析：（二）（1）原式分母有理化即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式利用得出的规律计算即可得到结果．
解答： 解：（二）（1）原式= ﹣ ；
（2） ﹣ ；
（3）原式= ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ = ﹣1．
点评：此题考查了分母有理化，弄清题中的规律是解本题的关键．
