知识点睛
研究_基本_图形
分析运动状态：
①由起点、终点确定t的范围；
②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．
分段画图，选择适当方法表达面积．
二、精讲精练
已知，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．
（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积．
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
1题图 2题图
如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝， CD＝，高CE＝，对角线AC、BD交于点H．平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发，沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G，当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为，被直线RQ扫过的面积为，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB＝____________；AC＝_____________；
（2）若，求x．
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ'R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．
（1）t为何值时，点Q' 恰好落在AB上？
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（3）S能否为？若能，求出此时t的值；
若不能，请说明理由．
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm，动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．以AP为边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形APDE和梯形BCFQ重叠部分的面积为Scm2．
（1）当t=_____s时，点P与点Q重合；
（2）当t=_____s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，
求S与t之间的函数关系式．
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（-2，0），作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．
（1）填空：点B的坐标为________，点C的坐标为_________．
（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．
（1）求M，N的坐标．
（2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．求S与自变量t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．
二、二次函数中的存在性问题
一、知识点睛
解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：
①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．
②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．
③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．
二、精讲精练
如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．
抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．
（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；
（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，
OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．
（1）若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；
（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，
作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN
与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由．
已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
三、二次函数与几何综合
一、知识点睛
“二次函数与几何综合”思考流程：
整合信息时，下面两点可为我们提供便利：
①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；
②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．
二、精讲精练
如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，
且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，
点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值．
已知，抛物线经过A(-1，0)，C(2，)两点，
与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 （不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，
并直接写出自变量x的取值范围．
已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3).
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），
①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；
②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．
四、中考数学压轴题专项训练
1.如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0
（1）求经过O，A，B三点的抛物线解析式．
（2）求S与t的函数关系式．
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标．
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q．若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′，是否存在点P，使点Q′恰好在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.（11分）如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．
（1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
4.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线，交直
线CD于点H，交抛物线于点G，求线段HG长度的值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以A，C，M，
N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
5.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与
抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值．
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，
正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，
直接写出对应的点P的坐标．
6.（11分）如图1，点A为抛物线C1：的顶点，点B的坐标为
(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，若FG:DE=4:3，求a的值；
（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线AB于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．
附：参考答案
一、图形运动产生的面积问题
1. （1）当t=时，四边形MNQP恰为矩形．此时，该矩形的面积为平方厘米．
（2） 当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；
当2＜t＜3时，
2．（1）90°；4 （2）x=2.
3．（1）当t=时，点Q' 恰好落在AB上.
（2）当0＜t≤时，；当＜t≤6时，
（3）由（2）问可得，当0＜t≤时， ；
当＜t≤6时，；
解得，或，此时.
4．（1）1 （2）（3）当1＜t≤时，；
当＜t＜2时，.
5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2） （2）当0＜t≤时，；当＜t≤1时，；
当1＜t≤时，.
6．（1）M（4，2） N（6，0）（2）当0≤t≤1时，；
当1＜t≤4时，；
当4＜t≤5时，；
当5＜t≤6时，；
当6＜t≤7时，
二、二次函数中的存在性问题
1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时，
△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；
若△BAP∽△AOB，如图1，
可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），
代入，可知，
若△BAP∽△BOA，如图2，
可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），
代入，可知，
当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；
若△ABP∽△AOB，如图3，
可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），
代入，可知，
若△ABP∽△BOA，如图4，
可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，），
代入，可知，
2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.
要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.
过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.
则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形.
则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）
可得BQ解析式为y=－x+4.
（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.
而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.
当∠DCE=30°时，
a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.
则可证△DCH∽△DEK.则，
在矩形DHQK中，DK=HQ，则.
在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）
则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.
b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.
由对称性可得此时点P坐标为（1－,）
当∠DCE=60°时，
过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.
则可证△DCM∽△DEN.则，
在矩形DMQN中，DN=MQ，则.
在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，
∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）
则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.
b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.
由对称性可得此时点P坐标为（1－,）
综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.
3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）
将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，
（2）存在：
如果△AMN与△ACD相似，则或
设M（0
当时，，
即∴∴
如图2验证一下
当时，，即
∴（舍）
2）如果点M在x轴上方的抛物线上：
当时，，即 ∴ ∴M
此时, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M满足要求
当时，，即 ∴m=10（舍）
综上M1,M2
4.解：满足条件坐标为：
思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线；
(1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP；
∵点A、P纵坐标差为2 ∴点M、N纵坐标差为2；
∵点M的纵坐标为0 ∴点N的纵坐标为2或-2
①当点N的纵坐标为2时
解： 得
又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、
②当点N的纵坐标为-2时
解： 得
又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、
(2)当AP为平行四边形边对角线时； 设M5（m,0）
MN一定过AP的中点（0，-1）
则N5（-m，-2），N5在抛物线上 ∴
（负值不符合题意，舍去）
∴ ∴
综上所述:
符合条件点P的坐标为：
5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可。由题知：，，，
故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况：
①如图1，，，令PM=QN，
解得：（舍去），；
②如图2，，，令PM=QN，
解得：（舍去），；
③如图3，，，令PM=QN，
解得：，（舍去）；
④如图4，，，令PM=QN，
解得：，（舍去）；
综上，m的值为、、、．
三、二次函数与几何综合
解：（1）令x=0，则y=4， ∴点C的坐标为（0，4），
∵BC∥x轴，∴点B，C关于对称轴对称，
又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线，即直线
∴点B的坐标为（5，4），∴AC=BC=5，
在Rt△ACO中，OA=，∴点A的坐标为A（，0），
∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A，∴9a+15a+4=0，解得， ∴抛物线的解析式是
（2）存在，M（，）
理由：∵B，C关于对称轴对称，∴MB=MC，∴；
∴当点M在直线AC上时，值，
设直线AC的解析式为，则，解得，∴
令，则，∴M（，）
2、解：（1）∵抛物线过点B（，0），
∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴
令y=0，则x=或x=3，∴A（3，0），∴OA=3，
令x=0，则y=-3a，∴C（0，a），∴OC=3a
∵D为抛物线的顶点，∴D（1，4a）
过点D作DM⊥y轴于点M，则∠AOC=∠CMD=90°，
又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°
∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴，
∵D（1，4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a
∴，∴，∵a>0，∴a=1
∴抛物线的解析式为：
（2）当AB为平行四边形的边时，则BA∥EF，并且EF= BA =4
由于对称轴为直线x=1，∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3
将x=5代入得y=12，∴F（5，12）．将x=-3代入得y=12，∴F（-3，12）．
当AB为平行四边形的对角线时，点F即为点D， ∴F（1，4）．
综上所述，点F的坐标为（5，12），（3，12）或（1，4）．
3、解：（1）对于，当y=0，x=2；当x=8时，y=.
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为
由抛物线经过A、B两点，得
解得
（2）设直线与y轴交于点M
当x=0时，y=. ∴OM=.
∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2，∴AM=
∴OM：OA：AM=3：4：5.
由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.
∴DE：PE：PD=3：4：5
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∴PD=
∴
由题意知：
4、解：(1) ∵拋物线y1=ax22axb经过A(1，0)，C(0，)两点，
∴，∴，∴拋物线的解析式为y1= x2x
（2）解法一：过点M作MN⊥AB交AB于点N，连接AM
由y1= x2x可知顶点M(1，2) ，A(1，0)，B(3，0)，N(1，0)
∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.
∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形.
∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°
∴∠QPB=∠PMA
又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA
∴ 将AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，
可得，即.
∵点P为线段OB上一动点 （不与点B重合）∴0x＜3
则y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3)
解法二：
过点M作MN⊥AB交AB于点N.
由y1= x2x易得M(1，2)，N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，MBN=45.
根据勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2. ∴…①，
又MPQ=45=MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y22
由、得y2=x2x.
∵0x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3)
5、解：（1）由题意，得，解得
∴抛物线的解析式为.
（2）①令，解得 ∴B（3， 0）
则直线BC的解析式为 当点P在x轴上方时，如图1，
过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，∴设直线AP的解析式为，
∵直线AP过点A（1，0），∴直线AP的解析式为，交y轴于点.
解方程组，得 ∴点
当点P在x轴下方时，如图1，
根据点，可知需把直线BC向下平移2个单位，此时交抛物线于点，
得直线的解析式为，
解方程组，得
∴
综上所述，点P的坐标为：
，
②过点B作AB的垂线，交CP于点F.如图2，∵
∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45°
又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC ∴△ACB≌△FCB
∴BF=BA=2，则点F（3，－2）又∵CP过点F，点C ∴直线CP的解析式为.
四、中考数学压轴题专项训练答案
1．（1）；
（2）；
（3）t=1或2．
2．（1），；
（2）；
（3）存在，点P的坐标为．
3．（1），；
（2）；
（3）15．
4．（1）；
（2）；
（3）．
5．（1）；
（2）①，当时，；
②．
6．（1）；
（2）； （3）．
