高三数学集合复习资料

第1讲 集 合
一．【课标要求】
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn二．【命题走向】
的直观性，注意运用Venn预测2010题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：
（1）题型是1个选择题或1（2
三．【要点精讲】
1
（1a的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA；
（2
确定性：设x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A
指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R。
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或AB）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B； （2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，AS，则，CS={x|xS且xA}称SA的补集；
（3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=，CS=S
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合BA与B的交集。交集AB{x|xA且xB}。
（2）一般地，由所有属于集合AA与B的并集。并集AB{x|xA或xB}
的关键是“且”与“或”挖掘题设条件，结合Venn
5．集合的简单性质：
（1）AAA,BBA;
（2）ABBA;
（3）(AAB);
（4）ABABA;ABABB；
（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。
四．【典例解析】
题型1：集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
答案 ：12解析 设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15x)人，只喜爱乒乓球的有
由此可得(15x)(10x)x830，解得x3，所以15x12，即 所(10x)人，
求人数为12人。 例1．（2009广东卷理）已知全集UR，集合M{x2x12}和
N{xx2k1,k1,2,}的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

( )

A. 3个C. 1个答案解析 由
例2．的值 为 答案 D
解析 ∵D.
,
题型2：集合的性质
2例3．(2009山东卷理)集合A0,2,a,B1,a,若AB0,1,2,4,16,则a的值为 
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
2 ( ) a216解析 ∵A0,2,a,B1,a,AB0,1,2,4,16∴∴a4,故选D.
a4
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,解析 设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15x)人，只喜爱乒乓球的有
由此可得(15x)(10x)x830，解得x3，所以15x12，即 所(10x)人，
求人数为12人。 例1．（2009广东卷理）已知全集UR，集合M{x2x12}和
N{xx2k1,k1,2,}的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有

( )

A. 3个C. 1个答案解析 由
例2．的值 为 答案 D
解析 ∵D.
,
题型2：集合的性质
2例3．(2009山东卷理)集合A0,2,a,B1,a,若AB0,1,2,4,16,则a的值为 
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
2 ( ) a216解析 ∵A0,2,a,B1,a,AB0,1,2,4,16∴∴a4,故选D.
a4
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
随堂练习
1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x
2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）
A．{2} B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
2. 已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)>0},B={y|y-6y+8≤0}，若2222 A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．

解

A∩B＝φa由a∴a即A∩B其补集,评注
例4．已知全集S{1,3,x3x22x}，A={1,2x}如果CSA{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由
解：∵CSA{0}；
∴0S且0A，即xx2x＝0，解得x10,x21,x32
当x0时，2x1，为A中元素；
当x1时，2x3S当x2时，2x3S
∴这样的实数x存在，是x1或x2。
另法：∵CSA{0}
∴0S且0A，3A
∴xx2x＝0且2x3
∴x1或x2。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x0时，322x1”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA{0}是两层含义：

0S且0AB,求q的值。解：由m（1）m解（1）得解（2）得又因为当q所以，q题型3例5．A,函数g(x)（1）求集合A、B
（2）若AB=B,求实数a的取值范围．
解 （1）A＝x|x1或x2
B＝x|xa或xa1 
（2）由AB＝B得Aa1B，因此a12所以1a1,所以实数a的取值范围是1,1
例6．（2009宁夏海南卷理）已知集合A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12,则AICNB( )
A.1,5,7 B.3,5,7
C.1,3,9 D.1,2,3
答案 A
解析 易有ACNB1,5,7，选A

题型4例7．（1，则
MN）
A．C． 答案
例8设全集合B{x|解：|a1∴Acosx1,x2k，∴x2k(kz)
∴B{x|x2k,kz}
当a1时，CA[a2,a]在此区间上恰有2个偶数。
a12a0 aa2
4a222、Aa1，a2，，2，，k)，由A中的元素构成两个相应，ak(k≥2)，其中aiZ(i1
的集合：
S(a，b)aA，bA，abA，T(a，b)aA，bA，abA．其中(a，b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P．
（I）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤k(k1)； 2
（II）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
解：（I

因为0又因时，(aj，即n≤（II（1T． 如果(ab故(a可见，（2）对于(a，b)T，根据定义，aA，bA，且abA，从而(ab，b)S．如果(a，b)与(c，d)是T的不同元素，那么ac与bd中至少有一个不成立，从而abcd与bd中也不至少有一个不成立，
故(ab，b)与(cd，d)也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，
由（1）（2）可知，mn．
例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A的人数为50×3=30，赞成B的人数为530+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B
不赞成的学生人数为事合都x+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为3
x33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(

+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，例10 －(200＋(200题型7例11a解：由由2x1<1，得<0，即－2a22，于是0≤a≤1。
a23因为AB，所以
点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,Sn1)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。 4n试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： （1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）A∩B至多有一个元素；
（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠。
n(a1an)SS1
,则n(a1+an),这表明点(an,n)的2n2n
S111
坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, n)均在直线y=x+a1上。
222n
11yxa122（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组1

x2y21解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=消去y得：当a1当a1,故

∴A∩（3A据(2)样的(x0,y0)的。
的取值范围.
分析：关键是准确理解AB 的具体意义，首先要从数学意义上解释AB意义，然后才能提出解决问题的具体方法。 解：
的
命题方程x22x2m40至少有一个负实数根,
设M{m|关于x的方程x22x2m40两根均为非负实数}, 4(2m3)03
则x1x2202m,
2
x1x22m40
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33
M{m|2m设全集U{m|0}{m|m
22
m的取值范围是
UM={m|m<-2}.
(解法二)命题方程的小根x12m302m312m31m2.
（解法三）设f(x)x22x4,这是开口向上的抛物线，其对称轴x10，则二次函数性质知命题又等价于f(0)0m2,
注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。
（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
B{a1,a2,a3,a4},其中a1a2a3a4
若AB{a1,a4},且a1a410,且AB,A、B.
注意“正整数”这个条件的运用，
2222
1a1a2a3a4,a1a2a3a4,AB{a1,a4},只可能有a1a1a12
而a1a410,a49,a4a,
2(1)若a2a4,则a23,AB{a3,},
2
2
222
a3a394124a35;
(2)若a3a4,则a33,a23,与条件矛盾,不合;综上,A{1,3,5,9},B,81（Ⅲ）设集合A1},B{(x,y)|4x2x2y50},
2
2
2
C{(x,y)k,b,使(AB)C分析：正确理解(AB)C
,
,并转化为具体的数学问题.
,必须AC
且BC
,
要使(AB)C(AC)(BC)
y2x1由k2x2(2kb1)xb210, ykxb
当k=0时，方程有解xb1,不合题意；
2
4k21
当k0时由1(2kb1)4k(b1)0得b①
4k
2
2
2
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4x22x2y50又由4x22(1k)x52b0,
ykxb
20(k1)2
由24(1k)16(52b)0得b②，
8
2
由①、②得bk
1201,而b, 4k8
∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1
点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。 题型6

例13B={C={D={则集合A、例14[1,2]，都有(2x，都有
|(2x1)（1）设（2）设0000（3）设(x)A,任取xl(1,2),令xn1(2xn),n1,2,,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xkl
解：
对任意x[1,2],(2x)2x,x[1,2],3(2x)5,152,所以
Lk1
xk||x2x1|H。
1L
(2x)(1,2)
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对任意的x1,x2[1,2]，
|(2x1)(2x2)||x1x2|
3
2
12x12
12x11x21x22
，
12x12
12x11x21x2，
3 所以0<
2
12x12
12x11x21x22

2,

3
0|LK1x2x1。 1L
点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖
五．【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、
、、=、CSA、∪，∩等等；
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2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
③若集合A中有n(nN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集

n
A的 ；