【一】
1．下列说法中不正确的是()
A．数列a，a，a，…是无穷数列
B．1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列
C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列
D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
解析：选B.A，D显然正确；对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋（－1）n＋12，则该数列的前4项依次为()
A．1，0，1，0B．0，1，0，1
C.12，0，12，0D．2，0，2，0
解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么()
A．30是数列{an}的一项B．44是数列{an}的一项
C．66是数列{an}的一项D．90是数列{an}的一项
解析：选C.分别令2n2－n的值为30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66时，n＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项．
4．已知数列的通项公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，则该数列的前两项分别是()
A．2，4B．2，2
C．2，0D．1，2
解析：选B.当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.
5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()
A．an＝n2－n＋1B．an＝n（n－1）2
C．an＝n（n＋1）2D．an＝n（n＋2）2
解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.
法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜想an＝n（n＋1）2，故选C.
6．若数列{an}的通项满足ann＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.
令n2－2n＝15，得n＝5.
答案：5
7．已知数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，则它的一个通项公式为________．
解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
8．已知数列{an}的通项公式为an＝2017－3n，则使an>0成立的正整数n的值为________．
解析：由an＝2017－3n>0，得n<20173＝67213，又因为n∈N＋，所以正整数n的值为672.
答案：672
9．已知数列{n(n＋2)}：
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.
(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.
所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．
10．已知数列2，74，2，…的通项公式为an＝an2＋bcn，求a4，a5.
解：将a1＝2，a2＝74代入通项公式，
得a＋bc＝2，4a＋b2c＝74，解得b＝3a，c＝2a，所以an＝n2＋32n，
所以a4＝42＋32×4＝198，a5＝52＋32×5＝145.
[B能力提升]
11．已知数列{an}的通项公式为an＝sinnθ，0<θ<π6，若a3＝12，则a15＝____________．
解析：a3＝sin3θ＝12，又0<θ<π6，所以0<3θ<π2，所以3θ＝π6，所以a15＝sin15θ＝sin56π＝12.
答案：12
12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．
解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an＝15n－14.
由an＝15n－14≤2017得n≤135.4，当n＝1时，此时a1＝1，不符合，故此数列的项数为135－1＝134.
答案：134
13．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2016；
(3)2017是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)．
由a1＝3，且a17＝67，得k＋b＝317k＋b＝67，
解之得k＝4且b＝－1.所以an＝4n－1.
(2)易得a2016＝4×2016－1＝8063.
(3)令2017＝4n－1，得n＝20184＝10092∉N＋，
所以2017不是数列{an}中的项．
14．(选做题)已知数列9n2－9n＋29n2－1，
(1)求这个数列的第10项；
(2)98101是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；
(4)在区间13，23内是否有数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
解：(1)设an＝9n2－9n＋29n2－1＝（3n－1）（3n－2）（3n－1）（3n＋1）＝3n－23n＋1.令n＝10，得第10项a10＝2831.
(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．
(3)证明：因为an＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，
又n∈N＋，所以0<33n＋1<1，所以0
所以数列中的各项都在区间(0，1)内．
(4)令13<3n－23n＋1<23，所以3n＋1<9n－6，9n－6<6n＋2，
所以n>76，n<83.所以76 当且仅当n＝2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2＝47. 【二】 1．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为() A．50B．40 C．25D．20 解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为100040＝25. 2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有() ①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样． A．②③B．①③ C．③D．①②③ 解析：选D.由于各类家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出若干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法． 3．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会() A．不全相等B．均不相等 C．都相等D．无法确定 解析：选C.系统抽样是等可能的，每人入样的机率均为502004. 4．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体() A．3B．4 C．5D．6 解析：选B.由于只有524÷4没有余数，故选B. 5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为() A．11B．12 C．13D．14 解析：选B.法一：分段间隔为84042＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36. 因为x020∈120，1， 所以k＝24，25，26，…，35. 所以k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12. 法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区间[481，720]抽取的人数为720－48020＝12. 6．为了了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，则抽样间隔k＝________． 解析：由于120340不是整数，所以从1203名学生中随机剔除3名，则抽样间隔k＝120040＝30. 答案：30 7．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01，02，03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为06，34，48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________． 解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为564＝14，所以样本编号应为06，20，34，48. 答案：20 8．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中的编号为________． 解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k＝9－3＝6，而总体容量N＝60，所以样本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同学，的编号为第10组抽取的个体的编号，故编号为3＋9×6＝57. 答案：57 9．某批产品共有1564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案． 解：(1)先从1564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除． (2)将余下的1560件产品编号：1，2，3，…，1560. (3)取k＝156015＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体． (4)从第一组，即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s. (5)按编号把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本． 10．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30； 抽样间隔：120030＝40； 确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12. 确定第一样本户：编号12的户为第一样本户； 确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户； … (1)该村委会采用了何种抽样方法？ (2)抽样过程存在哪些问题？试修改； (3)何处是用简单随机抽样？ 解：(1)系统抽样． (2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：从标有1～10的号码中随机抽取一张，为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户． (3)确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12. [B能力提升] 11．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，若在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，则Δ中的数字有() A．1种可能B．2种可能 C．3种可能D．4种可能 解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5. 12．已知某种型号的产品共有N件，且40＜N＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，若样本容量为7，则不需要剔除；若样本容量为8，则需要剔除1个个体，则N＝________． 解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N为7的倍数，又40＜N＜50，所以N＝42或49.若N＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；若N＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N＝49. 答案：49 13．为了调查某路口一个月的车流量情况，*采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为*这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？ 解：*所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况． 改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可． 如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8. 14．(选做题)一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数． (1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码； (2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围． 解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第2组抽取的号码是290，… 故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921. (2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能为21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.
