高二理科数学竞赛试题

考试时间：120分钟 满分：150分
（请将试题答案做在答题纸上）
第Ⅰ卷（选择题 50分）
选择题（每小题5分，共10题）
1.在等差数列an中，a13,且a1,a4,a10成等比数列，则an的通项公式为 （ ） A. an2n1 B. ann2C.an2n1或an3 D. ann2或an3
2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c

，若a2
b2


，sinCB，则A= ( )（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500
3、设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是( )A、XZ2Y B、YYXZZX
C、Y2
XZ D、YYXXZX
4.已知{a5
n}为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2a32a1， 且a4与2a7的等差中项为4
，则S5= A．35 B.33 C.31 D.29
5、在ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosCcsinBcosA
12
b, 且ab,则B A．
26 B．3
C．5
3 D．6
6、0b1a,若关于x 的不等式(xb)2
＞(ax)2
的解集中的整数恰有3个，则（ ）
（A）1a0 （B）0a1 （C）1a3 （D）3a6 7．已知不等式(x+y)(1a
x + y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，

a，则 A.a＞b B.a＜b
C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定
3xy609. 设x，y满足约束条件
xy20 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是值为12，

x0,y0则
2a3b的最小值为 ( ). A.256 B.83 C. 11
3
D. 4 （10）设正实数x,y,z满足x2
-3xy+4y2
-z=0.则当取得值时，+--的值为
（A）0 （B）1 （C）

（D）3
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 将答案直接填写在答题纸给定
的横线上.
11、在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c

，若ab

2，sinBcosB，
则角A的大小为 ．
12、若对任意x＞0，
x
x23x1
a恒成立，则a的取值范围是 ．
13.在锐角ABC中，BC1,B2A,则AC
cosA
的值等于 ，AC的取值范围为
14、设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是__________________ .
x2y5≥015．设m为实数，若(x，y)3x≥0(x，y)x2y2
≤25
，

mxy≥0
则m的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75

分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，务必在答题纸指定的位置作答。
16、（12分）△ABC中，a,b,c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且
cosBcosC=-b
2a+c
（1）求∠B的大小；
（2）若a=4，S=53，求b的值。
17（12分）已知函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-1,1]时，不等式f(x)>a恒成立，求a的取值范围
18.（12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列， 且满足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{abn}和数列{bn}满足等式：an＝1b2b2+322+...bn2+32n
(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn
19．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0.
（1） 求角B的大小；
（2） 若a+c=1，求b的取值范围
20（本小题满分13分）
在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84,a9=73．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为{bn}，求数列{bn}
的前m项和Sm．
（21）（本小题满分14分）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1 （Ⅰ） 求数列｛an｝的通项公式；

的前n项和Rn.
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高中高二数学竞赛试题答案
一、选择题：D A D C A C B A A B

二、填空题：11π
2
12、a≥
1
5
132、d≤-d≥ 15、[-4,433
] 16、⑴由
cosBbcosBsincosC=-2a+c⇒cosC=-B
2sinA+sinC
⇒2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC ⇒2sinAcosB=-sinBcosC-cosBsinC
∴2sinAcosB=-sin(B+C)⇒2sinAcosB=-sinA ⇒cosB=-12,又03
π

⑵由a=4,S=

S=112acsinB=2⨯c⇒c=5
b2
=a2
+c2
-2accosB⇒b2
=16+25-2⨯4⨯5⇒b=

17、解：f(x)>a⇔x2+ax+3>a⇔x2
+3>a(1-x),x∈[-1,1]
-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2
当x=1时，1-x=0,x2+3>a(1-x)对一切x∈R恒成立时，0<1-x≤2,则a<
x2当x≠1+31-x
x2+3(1-x)2-2(1-1-x=x)+41-x=(1-x)+4
1-x
-2≥-2=2
当且仅当1-x=4
1-x
,即x=-1时等号成立
∴（x2+31-x
）min=2,从而a<2
综上所述：a的取值范围为a<2
18、解（1）解：设等差数列{an}的公差为d，则依题设d>0 由a2+a7＝16.得2a1+7d=16 ① 由a3⋅a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55 ②
由①得2a1=16-7d将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220。即256-9d2=220
∴d2=4,又d>0,∴d=2,代入①得a1=1∴a
n=1+(n-1)⋅2=2n-1
（2）令cn
n=
b2
n,则有an=c1+c2++cn,an+1=c1+c2++cn-1
an+1-an=cn+1,由(1)得a1=1,an+1-an=2
两式相减得∴cn+1=2,cn=2(n≥2),即当n≥2时，bn=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2
∴b⎧2,(n=1)n=⎨⎩2n+1
(n≥2)
于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24++2n+1 =2+2
2
+23+24
+
+2
n+1
-4=
2(2n+1-1)
2-1-4=2n+2-6,即Sn=2n

+2-6
19. 【解析】（1）由已知

得-cos(A+B)+cosA3sinA=cos
，

B即sinAsin3sinAco=s.

B因为0sinA≠0，所以sinBcosB=0
,又cosB≠0,所以tanB=又03
.
（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB，因为a+c=1，cosB=1
2
,所以
b2=3(a-12)2+
1
4
，又因为014≤b2<1，即1
2
≤b<1. （20）解：（Ⅰ）因为{an}是一个等差数列，
所以a3+a4+a5=3a4=84，即a4=28． 所以，数列{an}的公差d=a9-a4==9，
所以，an=a4+(n-4)d=28+9(n-4)=9n-8(n∈N*