本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写 上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合 ≤ ≤ , ≤ ≤ ，则（ ）
2. 计算： （ ）
A． B．- C. 2 D. -2
3. 已知 是奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
4. 已知向量 ,则 的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为 ，则该几何体的俯视图可以是（ ）
6. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 此函数的图象关于直线 对称 B. 此函数的值为1
C. 此函数在区间 上是增函数 D. 此函数的最小正周期为
7. 某程序框图如图所示，该程序运行后，
输出的 值为31，则 等于（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
8. 已知 、 满足约束条件 ，
若 ，则 的取值范围为（ ）
A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3]
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9. 已知等比数列 的公比 为正数，且 ，则 = .
10. 计算 .
11. 已知双曲线 的一个焦点是（ ），则其渐近线方程为 .
12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .
13. 已知
依此类推，第 个等式为 .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。
14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为 (θ为参数)，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的值为
15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB
延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，
若∠CPA＝30°，PC＝_____________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
如图，角 为钝角，且 ，点 、 分别是在角 的
两边上不同于点 的动点.
（1）若 =5， = ，求 的长；
（2）设 的值.
17.（本小题满分12分）
某连锁超市有 、 两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计： 分店的销售量为200件和300件的天数各有15天； 分店的统计结果如下表：
销 售量（单位：件） 200 300 400
天 数 10 15 5
（1）根据上面统计结果，求出 分店销售量为200件、300件、400件的频率；
（2）已知每件该商品的销售利润为1元， 表示超市 、 两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作 为概率，且 、 两分店的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望.
18.（本小题满分14分）
如图， 为矩形， 为梯形，平面 平面 ，
， .
（1）若 为 中点，求证： ∥平面 ；
（2）求平面 与 所成锐二面角 的大小．
19.（本小题满分14分）
已知数列 中， ，且当 时， ， .
记 的阶乘 ！
（1）求数列 的通项公式；（2）求证：数列 为等差数列；
（3）若 ，求 的前n项和.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点M，求点M的轨迹 的方程；
（3）设O为坐标原点，取 上不同于O的点S，以OS为直径作圆与 相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．
21.（本小题满分14分）
已知函数 ，函数 是函数 的导函数.
（1）若 ，求 的单调减区间；
（2）若对任意 ， 且 ，都有 ，求实数 的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数 的范围内，若存在一个与 有关的负数 ，使得对任意 时 恒成立，求 的最小值及相应的 值.
茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B A C C D B
二、填空题（每小题5分，共30分）
9. ； 10. ； 11. ； 12. ；
13. ；
14. 3； 15. 33.
三、解答题（共80分）
16. 解：（1） 是钝角， ， …………………………1分
在 中，由余弦定理得：
所以 …………………………4分
解得 或 （舍去负值），所以 …………………………6分
（2）由 …………………………7分
在三角形APQ中，
又 …………………………8分
…………………………9分
………11分
………………………12分
17. 解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为 ， 和 ………3分
（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为 ， ……………4分
的可能值为400 ，500，600，700，且 ……………5分
P（ =400）= ， P（ =500）= ，
P（ =600）= ， P（ =700）= ， ………9分
的分布列为
400 500 600 700
P
……………10分
=400 +500 +600 +700 = （元） …………………12分
18.（1）证明：连结 ,交 与 ,连结 ，
中， 分别为两腰 的中点 ∴ ………………2分
因为 面 ,又 面 ，所以 平面 ………………4分
（2）解法一：设平面 与 所成锐二面角的大小为 ，以 为空间坐标系的原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则
………6分
设平面 的单位法向量为 ，则可设 ……………………………7分
设面 的法向量 ，应有
即：
解得： ，所以 …………………………………………12分
∴ ……………………………………………………13分
所以平面 与 所成锐二面角为60°………………………………………14分
解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC ……………………6分
∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D
∴CD⊥平面PAD ∴CD ⊥PG，又CD∩DH=D
∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC ………………8分
∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………10分
在 △ 中， ， 可以计算 …12分
在 △ 中， ……………………………13分
所以平面 与 所成锐二面角为60°………………………………………14分
19. 解：（1） , ，
！ …………………………………………2分
又 ， ！ ………………………………………………………3分
（2） 由 两边同时除以 得 即 …4分
∴数列 是以 为首项，公差为 的等差数列 …………………………5分
，故 ……………………………6分
（3）因为 ………………8分
记 =
………10分
记 的前n项和为
则 ①
∴ ②
由②-①得：
……………………………………………………………………………………13分
∴ = ……………14分
20. 解：（1）解：由 ，得 ，再由 ，解得 …………1分
由题意可知 ，即 …………………………………2分
解方程组 得 ………………………………………3分
所以椭圆C1的方程是 ………………………………………………3分
（2）因为 ，所以动点 到定直线 的距离等于它到定点 （1，0）的距离，所以动点 的轨迹 是以 为准线， 为焦点的抛物线，…6分
所以点 的轨迹 的方程为 …………………………………………7分
（3）因为以 为直径的圆与 相交于点 ，所以∠ORS = 90°，即
……………………………………………………………………………………8分
设S （ ， ），R（ ， ）， ＝（ - ， - ）， =（ ， ）
所以
因为 ， ，化简得 ……………………………10分
所以 ，
当且仅当 即 ＝16，y2＝±4时等号成立. ………………………12分
圆的直径|OS|=
因为 ≥64，所以当 ＝64即 =±8时， ， ……………13分
所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）……………………14分
21. 解：（1）当 时， ， …………………1分
由 解得 ……………………2分
当 时函数 的单调减区间为 ；………………3分
（2）易知
依题意知
…………………………………………………………5分
因为 ，所以 ，即实数 的取值范围是 ；………………6分
（3）解法一：易知 ， .
显然 ，由（2）知抛物线的对称轴 ………………7分
①当 即 时， 且
令 解得 ……………………8分
此时 取较大的根，即 …………………9分
， ………………………10分
②当 即 时， 且
令 解得 ……………………11分
此时 取较小 的根，即 ………………12分
， 当且仅当 时取等号 …………13分
由于 ，所以当 时， 取得最小值 ……………………14分
解法二：对任意 时，“ 恒成立”等价于“ 且 ”
由（2）可知实数 的取值范围是
故 的图象是开口向上，对称轴 的抛物线……7分
①当 时， 在区间 上单调递增，
∴ ，
要使 最小，只需要
………8分
若 即 时，无解
若 即 时，………………9分
解得 （舍去） 或
故 （当且仅当 时取等号）…………10分
②当 时， 在区间 上单调递减，在 递增，
则 ，…………………11分
要使 最小，则 即
……………………………………………………………12分
解得 （舍去）
或 （当且仅当 时取等号）……13分
综上所述，当 时， 的最小值为 . …………………………………14分
