1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A.小于 的角是锐角 B.钝角是第二象限的角
C.第二象限的角大于第一象限的角 D.若角 与角 的终边相同，那么
3.若直线 与直线 互相垂直，则 为( )
A. B.1 C.-2 D.
4.从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率( )
A.不都相等 B.都不相等 C.都相等，且为 D.都相等，且为
5.已知 是第二象限角，那么 是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第二或第四象限角 D.第一或第三象限角
6.一名小学生的年龄和身高(单位：cm)的数据如下表：
由散点图可知，身高 与年龄 之间的线性回归方程为 ，则 的值为( )
A.65 B.74 C.56 D.47
7.向顶角为 的等腰三角形 (其中 )内任意投一点 ，则 小于 的概率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 满足：对任意的 ，均有 ，则( )
A. B.
C. D.
9.函数 的图象的大致形状是( )
10.如图，等边三角形 的中线 与中位线 相交于 ，已知 是△ 绕 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )
A.动点 在平面 上的射影在线段 上
B.恒有 平面 ⊥平面BCED
C.三棱锥 的体积有值
D.异面直线 与 不可能垂直
11.已知函数 是定义在 上的增函数，函数 的图象关于点 对称. 若对任意的 ，不等式 恒成立，则当 时， 的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ， ， ， ，且 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(5×4=20分)
13.数据 平均数为6，方差为2，则数据 的平均数为 ，方差为 ;
14.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么 .
15. 执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是 .
16.若圆 上至少有三个不同点到直线 的距离为 则直线 的斜率的取值区间为 .
三、解答题
17.(10分)对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
(1)若已知M=40，求出表中m、n、p中及图中 的值;
(2)若该校高二学生有 人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间 内的人数;
18.(12分)已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小;
(2)求该扇形的面积取得时，圆心角的大小.
19.(12分)设关于 的方程 .
(1)若 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
(2)若 是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
20. (12分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图.
(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD;
(2)证明：BD∥面PEC;
(3)求该几何体的体积.
21.(12分)已知 ， 为圆 : 与 轴的交点(A在B上)，过点 的直线 交圆 于 两点(点M在上、点N在下).
(1)若弦 的长等于 ，求直线 的方程;
(2)若 都不与 ， 重合，直线 与 的交点为C.证明：点C在直线y=1.
22. (12分)已知定义在区间 上的函数 ，其中常数 .
(1)若函数 分别在区间 上单调，试求 的取值范围;
(2)当 时，是否存在实数 ，使得函数 在区间 上单调、且 的取值 范围为 ，若存在，求出 的取值范围;若不存在，请说明理由.
高一第一次月考试卷
一、选择题
CBCCD ABCDD CB
二、填空题
13. 6 ， 8 ; 14.200; 15.105; 16.
三、解答题
17.对某校高二年级学生参加社区服务 次数进行统计，随机抽取 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图如下：
(1)若已知M=40，求出表中m、n、p中及图中 的值;
(2)若该校高二学生有 人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间 内的人数;
解：(1)因为频数之和为 ，所以 .
，
因为 是对应分组 的频率与组距的商，所以 .
因为该校高二学生有 人，分组 内的频率是 ，
所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 人.
18.已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小;
(2)求该扇形的面积取得时，圆心角的大小.
(1)解：设扇形半径为 ,扇形弧长为 ，周长为 ,
所以 ,解得 或 ，圆心角 ,或是 .(2)根据 ， ，得到 ,
,当 时， ，
此时 ，那么圆心角 ，
19.设关于 的方程 .
(1)若 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
(2)若 是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
解：设事件A为“方程有实根”.
当a>0，b>0时，方程有实根的充要条件为a≥b
(1)由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
(0，0)(0，1)(0，2)(1，0)(1，1)(1，2)(2，0)(2，1)(2，2)(3，0)(3，1)(3，2)
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件，
∴事件A发生的概率为P= =
(2)由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}
满足条件的构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}
∴所求的概率是
20.下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图.
(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD;
(2)证明：BD∥面PEC;
(3)求该几何体的体积.
解：(1)由几何体的三视图可知，底面 是边长为4的正方形,
而且 , ∥ ， .
取 的中点 ，如图所示.
∵ ,∴ ，
又∵ ，∴ 面 ,
∴ .又 ,∴ 面 .
(2)如图，取 的 中点 , 与 的交点为 ，
连结 、 ，如图所示.
∴ ， ∥ ，∴ ， ∥ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ∥ ，又 面 ,∴ ∥面 ，
∴ 面 .
(3) .
21.已知 ， 为圆 : 与 轴的交点(A在B上)，过点 的直线 交圆 于 两点.
(1)若弦 的长等于 ，求直线 的方程;
(2)若 都不与 ， 重合，直线 与 的交点为C.证明：点C在直线y=1.
解：(Ⅰ)①当 不存在时， 不符合题意
②当 存 在时，设直线 ：
圆心 到直线 的距离
，解得
综上所述，满足题意的直线 方程为
(Ⅱ)设直线MN的方程为： ，
联立 得：
直线 ： ，直线 ：
消去 得：
要证：C落在定直线 上，只需证：
即证：
即证：
即证：
即证：
显然成立.
所以直线 与 的交点在一条定直线上.
22.已知定义在区间 上的函数 ，其中常数 .
(1)若函数 分别在区间 上单调，试求 的取值范围;
(2)当 时，是否存在实数 ，使得函数 在区间 单调，且 的取值范围为 ，若存在，求出 的取值范围;若不存在，请说明理由.
试题解析：(1)设
∵ ∴函数 分别在区间 上单调 且
要使函数 分别在区间 上单 调
则 只需
(2)当 时， 如图，可知 ， 在 、 、 、 均为单调函数
(Ⅰ)当 时， 在 上单调递减
则 两式相除整理得
∵ ∴上式不成立 即 无解， 无取值 10分
(Ⅱ)当 时， 在 上单调递增
则 即 在 有两个不等实根
而令 则
作 在 的图像可知， 12分
(Ⅲ)当 时， 在 上单调递减
则 两式相除整理得
∴ ∴ ∴
由 得
则 关于 的函数是单调的，而 应有两个不同的解
∴此种情况无解
(Ⅳ)当 时，同(Ⅰ)可以解得 无取值
综上， 的取值范围为
