北师大版高一数学必修一集合教案

1.1-1集合的含义及其表示（一）
教学目标：使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性. 了解有限集、无限集、空集概念，
教学重点：集合概念、性质；“∈”，“ ”的使用
教学难点：集合概念的理解；
课 型：新授课
教学手段：
教学过程：
一、引入课题
军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。（参看阅教材中读材料P17）。
下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。
二、新课教学
“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……
如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…
集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…
2、元素与集合的关系
a是集合A的元素，就说a属于集合A ， 记作 a∈A ，
a不是集合A的元素，就说a不属于集合A， 记作 aA
思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？
（1）小于10的质数（2）数学家（3）中国的直辖市（4）maths中的字母
（5）book中的字母（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数
（9）方程 的实数解
评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
3、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
2.元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合
3.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N 有理数集Q
正整数集 N*或 N+ 实数集R
整数集Z 注：实数的分类

5、集合的分类 原则：集合中所含元素的多少
①有限集 含有限个元素，如A={-2，3}
②无限集 含无限个元素，如自然数集N，有理数
③空 集 不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。专用标记：Φ
三、课堂练习
1、用符合“∈”或“”填空：课本P15练习惯1
2、判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×”
(1)所有在N中的元素都在N*中（ ）
(2)所有在N中的元素都在Ｚ中( )
(3)所有不在N*中的数都不在Z中（ ）
(4)所有不在Q中的实数都在R中（ ）
(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ ）
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ ）
四、回顾反思
1、集合的概念
2、集合元素的三个特征
其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.
“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
3、常见数集的专用符号.
五、作业布置
1．下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数
（2）好心的人
（3）1，2，2，3，4，5．
2．设a,b是非零实数，那么 可能取的值组成集合的元素是
3．由实数x,－x,｜x｜, 所组成的集合，最多含（ ）
（A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素
4．下列结论不正确的是( )
A.O∈N B. Q C.O Q D.-1∈Z
5．下列结论中，不正确的是( )
A.若a∈N，则-a N B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则
6．求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；

板书设计（略）

1.1-2集合的概念及其表示（二）
教学目标：掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，渗透抽象、概括思想。
教学重点：集合的表示方法
教学难点：正确表示一些简单集合
课 型：新课
教学手段：讲授
教学过程：
一、创设情境
复习提问：
集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何用数不符号表示？
那么给定一个具体的集合，我们如何表示它呢？这就是今天我们学习的内容—集合的表示 (板书课题)
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合
二、新课讲解
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}
由“maths中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}
由“book中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}
注：
（1） 有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：
{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
（2） a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
比如： 与 不同， ∈
（3） 集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
例1（P4）

2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。
例:不等式 的解集可以表示为： 或
“中国的直辖市”构成的集合，写成{ 为中国的直辖市}；
“maths中的字母” 构成的集合，写成{ 为maths中的字母}；
“平面直角坐标系中第二象限的点”{（x,y）| x<0且y>0}
“方程x2+5x-6=0的实数解” {x∈R| x2+5x-6=0}={-6，1}
注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；
{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
例2（P5）

3、图示法：
文氏图(Venn图)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
数轴法：{x∈R|3 但{x∈N|3 连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示
三、例题讲解
例1解不等式 ，并把结果用集合表示.
解：由不等式 ，知
所以原不等式解集是
例2 求方程 的解集
解：因为 没有实数解，
所以
例3用描述法分别表示
（1）抛物线y=x2上的点.
（2）抛物线y=x2上点的横坐标.
（3）抛物线y=x2上点的纵坐标.

四、课堂练习
练习：P5 2、3.
五、回顾反思
1．描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。注意：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}是错误的。
2．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。
3．本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：
（1）元素是什么？
（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。
六、作业布置
作业：P6 A组题：1,2,3,4,5
思考：P6 B组题
1.2-1 集合的基本关系
教学目的：了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系；了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；
课 型：新授课
教学过程：
一、引入课题
1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
（1）0 N；（2） Q；（3）-1.5 R
2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）
二、新课教学
1、 集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A
当集合A不包含于集合B时，记作A B
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系


2、集合与集合之间的 “相等”关系；
，则 中的元素是一样的，因此
即
练习
3、结论：任何一个集合是它本身的子集
4、真子集的概念
若集合 ，存在元素 ，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。
记作：A B（或B A）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
举例（由学生举例，共同辨析）
5、 规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
6、结论： ，且 ，则
三、例题讲解
例1化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x 5}，并表示A、B的关系；
例2写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
结论：集合A中元素的个数记为n，则它的子集的个数为：2n
真子集的个数：2n-1，非空真子集个数：2n-2（在后继学习中会对此结论加以证明）
四、课堂练习：P9练习题
五、归纳小结，强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；
六、作业布置
1、书面作业：习题1.2 5个小题
2、提高作业：
○1 已知集合 ， ≥ ，且满足 ，求实数 的取值范围。
○2 设集合 ，
，试用Venn图表示它们之间的关系。
○2P10 B组题
板书设计（略）
1.3-1交集与并集
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2））能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型：新授课
教学重点：集合的交集与并集的概念；
教学难点：集合的交集与并集 “是什么”，“为什么”，“怎样做”；
教学过程：
一、引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
思考（P9思考题），引入并集概念。
二、新课教学
1、并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
例题1求集合A与B的并集
①A={6，8，10，12} B={3，6，9，12}
②A={x|-1≤x≤2} B={x|0≤x≤3}
（过度）问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。
2、交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
例题2求集合A与B的交集
③A={6，8，10，12} B={3，6，9，12}
④A={x|-1≤x≤2} B={x|0≤x≤3}

拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集(用彩笔图出)

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
3、例题讲解
例3(P12例1)：理解所给集合的含义，可借助venn图分析
例4 P12例2）：先“化简”所给集合，搞清楚各自所含元素后，再进行运算。
4、集合基本运算的一些结论：
A∩B A，A∩B B，A∩A=A，A∩ = ,A∩B=B∩A
A A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪ =A,A∪B=B∪A
若A∩B=A，则A B，反之也成立
若A∪B=B，则A B，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B
三、课堂练习（P13练习）
四、归纳小结
五、作业布置
1、书面作业：P13习题1.1，第6-12题
补充：
（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=
（2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z

2、提高内容：
（1）已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且
，试求p、q；
（2）集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p、q；
（3）A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A B ={3，7}，求B
1.3.2 全集与补集
教学目标：了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图表达集合间的关系；渗透相对的观点.
教学重点：补集的概念.
教学难点：补集的有关运算.
课 型：新授课
教学手段：发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳其普遍规律.
教学过程：
一、创设情境
1．复习引入：复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集，并集.
2．相对某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”。集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.这就是本节课研究的话题 ——全集和补集。
二、新课讲解
请同学们举出类似的例子
如：U＝{全班同学} A＝{班上男同学} B＝{班上女同学}
特征：集合B就是集合U中除去集合A之后余下来的集合，可以用文氏图表示。
我们称B是A对于全集U的补集。
1、全集
如果集合S包含我们要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集。全集通常用字母U表示
2、补集（余集）
设U是全集，A是U的一个子集（即A U），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作“A在U中的补集”，简称集合A的补集，记作 ，即
补集的Venn图表示：
说明：补集的概念必须要有全集的限制
练习： ，则 。
3、基本性质
① ， ，
②
③ ，
注：借助venn图的直观性加以说明
三、例题讲解
例1(P13例3)
例2(P13例4) ①注重借助数轴对集合进行运算②利用结果验证基本性质
四、课堂练习
1．举例，请填充（参考）
(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则 SA＝____________.
(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则 SB＝___________.
(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝ ，则 SA＝_______.
(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}， UA＝{5}，则a＝_______
(5)已知A＝{0，2，4}， UA＝{－1，1}， UB＝{－1，0，2}，求B＝_______
(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}， UA＝{5}，求m.
(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求 UA、m.
师生共同完成上述题目，解题的依据是定义
例(1)解： SA＝{2}
评述：主要是比较A及S的区别.
例(2)解： SB＝{直角三角形或钝角三角形}
评述：注意三角形分类.
例(3)解： SA＝3
评述：空集的定义运用.
例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1±
评述：利用集合元素的特征.
例(5)解：利用文恩图由A及 UA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.
例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之 m＝－4或m＝2
例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6
当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}
又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}
故满足题条件： UA＝{1，4}，m＝4； UB＝{2，3}，m＝6.
评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.
2．P14练习题1、2、3、4、5
五、回顾反思
本节主要介绍全集与补集，是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念
1.全集是一个相对的概念，它含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素，通常用“U”表示全集.在研究不同问题时，全集也不一定相同.
2.补集也是一个相对的概念，若集合A是集合S的子集，则S中所有不属于A的元素组成的集合称为S中子集A的补集（余集），记作 ，即 ={x| }. 当S不同时，集合A的补集也不同.
六、作业布置
1、P15习题4，5
2、用集合A，B，C的交集、并集、补集表示下图有色部分所代表的集合

3、思考：p16 B组题1，2