高一数学必修四作业本答案:第一章

第一章三角函数

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

1．B.2．C.3．C.4．-1485°=-5×360°+315°.5．{-240°,120°}.

6．{α|α=k·360°-490°,k∈Z}；230°；-130°；三.

7．2α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，α2的终边在第二、四象限．集合表示略.

8.（1）M={α|α=k·360°-1840°,k∈Z}.

(2)∵α∈M,且-360°≤α≤360°,∴-360°≤k·360°-1840°≤360°.∴1480°≤k·360°≤2200°,379≤k≤559.∵k∈Z,∴k=5,6,故α=-40°,或α=320°.

9．与45°角的终边关于x轴对称的角的集合为{α|α=k·360°-45°,k∈Z}，关于y轴对称的角的集合为{α|α=k·360°+135°,k∈Z}，关于原点对称的角的集合为{α|α=k·360°+225°,k∈Z}，关于y=-x对称的角的集合为{α|α=k·360°+225°,k∈Z}.

10.(1){α|30°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.(2){α|k·360°-45°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}．

11．∵当大链轮转过一周时，转过了48个齿，这时小链轮也必须同步转过48个齿，为4820＝2.4（周），即小链轮转过2.4周.∴小链轮转过的角度为360°×24=864°.

1．1．2弧度制

1．B.2．D.3．D.4．αα=kπ+π4,k∈Z.5．-5π4.6．111km.

7．π9,7π9,13π9．8．2π15,2π5,2π3,4π5．

9．设扇形的圆心角是θ rad，∵扇形的弧长是r θ，∴扇形的周长是2r+rθ，依题意，得2r+rθ=πr，∴θ=π-2，∴扇形的面积为S=12r2θ=12(π-2)r2.

10.设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r，由已知得l=π2R,R=2lπ．又∵2r+r=R，

∴r=R2+1=(2-1)R=2(2-1)πl，∴内切圆的面积为S=πr2=4(3-22)πl2．

11．设圆心为O，则R=5,d=3，OP=R2-d2=4，ω=5rad/s，l=|α|R,α=ωt=25rad,l=4×25=100（cm）．

1．2任意角的三角函数

1．2．1任意角的三角函数（一）

1．B.2．B.3．C.4．k.5．π6,56π.6．x|x≠2kπ+32π,k∈Z.

7．-25．8．2kπ+π2,2kπ+π，k∈Z.9．α为第二象限角．

10．y=-3|x|=-3x(x≥0)，

3x(x＜0)，若角α的终边为y=3x(x＜0)，即α是第三象限角，则sinα=-31010,tanα=3；若角α的终边为y=-3x(x≥0)，即α是第四象限角，则sinα=-31010,tanα=-3．

11．f(x)=-(x-1)2+4(0≤x≤3)．当x=1时，f(x)max=f(1)=4，即m=4；当x=3时，f(x)min=f(3)=0，即n=0．∴角α的终边经过点P(4,-1)，r=17，sinα+cosα=-117+417=31717．

1．2．1任意角的三角函数（二）

1．B.2．C.3．B.4．334.5．2.6．1.7．0.

8．x|2kπ+π≤x＜2kπ+32π,或x=2kπ,k∈Z.

9．（1）sin100°·cos240°＜0.（2）tan-11π4-cos-11π4＞0.（3）sin5+tan5＜0.

10．（1）sin25π6=sin4π+π6=sinπ6=12.（2）cos-15π4=cos-4π+π4=cosπ4=22.

（3）tan13π3=tan4π+π3=tanπ3=3．

11．（1）∵cosα＞0，∴α的终边在第一或第四象限，或在x轴的非负半轴上；

∵tanα＜0，∴α的终边在第四象限．故角α的集合为α2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z.

（2）∵2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z，∴kπ-π4＜α2＜kπ,k∈Z ．

当k=2n(n∈Z)时，2nπ-π4＜α2＜2nπ,n∈Z,sinα2＜0,cosα2＞0,tanα2＜0；

当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+3π4＜α2＜2nπ+π,n∈Z,sinα2＞0,cosα2＜0,tanα2＜0.

1．2．2同角三角函数的基本关系

1．B.2．A.3．B.4．-22.5．43.6．232.7．4-22．

8．α2kπ+π2＜α＜2kπ+3π2,或α=kπ,k∈Z．9．0.10．15.11．3+12．1．3三角函数的诱导公式（一）

1．C.2．A.3．B.4．-1-a2a．5．12．6．-cos2α．7．-tanα．

8．-2sinθ．9．32．10．-22+13.11.3．

1．3三角函数的诱导公式（二）

1．C.2．A.3．C.4．2+22．5．-33．6．13．7．-73．8．-35．

9．1.10．1+a4.11．2+3.

1．4三角函数的图象与性质

1．4．1正弦函数、余弦函数的图象

1．B.2．C.3．B.4．3;-3.5．2.6．关于x轴对称.

7．（1）取(0,0),π2,1,(π,2),3π2,1,(2π,0)这五点作图.

（2）取-π2,0，0,12，π2,0，π,-12，3π2,0这五点作图．

8．五点法作出y=1+sinx的简图，在同一坐标系中画出直线y=32，交点有2个．

9．（1）（2kπ,(2k+1)π）(k∈Z).(2)2kπ+π2,2kπ+32π(k∈Z).

10．y=|sinx|=sinx(2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z)，

-sinx(π+2kπ＜x＜2π+2kπ,k∈Z)，图象略．y=sin|x|=sinx(x≥0),

-sinx(x＜0),图象略．

11．当x＞0时，x＞sinx；当x=0时，x=sinx；当x＜0时，x＜sinx，∴sinx=x只有一解．

1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（一）

1．C.2．A.3．D.4．4π.5．12,±1.

6．0或8．提示：先由sin2θ+cos2θ=1，解得m=0，或m=8．

7．（1）4.（2）25π.8．（1）π.（2）π.9．32,2.

10．（1）sin215π＜sin425π.(2)sin15＜cos5.11.342.

1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（二）

1．B.2．B.3．C.4．＜.5．2π.6．3，4，5，6.

7．函数的值为43，最小值为-2．8．-5．9．偶函数．

10．f(x)=log21-sin2x=log2|cosx|．（1）定义域：xx≠kπ+π2,k∈Z.（2）值域：（-∞,0］.

（3）增区间：kπ-π2,kπ（k∈Z），减区间：kπ,kπ+π2（k∈Z）.（4）偶函数.（5）π．

11．当x＜0时，-x＞0,∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.又∵f(x)是奇函数,

∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=-x2-sinx.

1．4．3正切函数的性质与图象

1．D.2．C.3．A.4．5π.5．tan1＞tan3＞tan2.

6．kπ2-π4,0(k∈Z).7．2kπ+6π5＜x＜2kπ+3π2,k∈Z .

8．定义域为kπ2-π4,kπ2+π4，k∈Z,值域为R，周期是T=π2，图象略．

9．（1）x=π4.（2）x=π4或54π.10.y|y≥34.

11．T=2π，∴f99π5=f-π5+20π=f-π5，又f(x)-1是奇函数，

∴f-π5-1=-fπ5-1f-π5=2-fπ5=-5,∴原式=-5．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）

1．A.2．A.3．B.4．3.5．-π2.6．向左平移π4个单位.

7．y=sinx+2的图象可以看作是将y=sinx图象向上平移2个单位得到，y=sinx-1的图象可以看作是将y=sinx图象向下平移1个单位而得到.

8．±5．

9．∵y=sin3x-π3=sin3x-π9，∴可将y=sin3x的图象向右平移π9个单位得到.

10.y=sin2x+π4的图象向左平移π2个单位，得到y=sin2x+π2+π4，故函数表达式为y=sin2x+5π4．

11．y=-2sinx-π3，向左平移m(m>0)个单位，得y=-2sin(x+m)-π3，由于它关于y轴对称，则当x=0时，取得最值±2，此时m-π3=kπ±π2，k∈Z，∴m的最小正值是5π6．

1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）

1．D.2．A.3．C.4．y=sin4x.5．-2a；-310a+2ka(k∈Z)；-2a.

6．y=3sin6x+116π.

7．方法1y=sinx横坐标缩短到原来的12y=sin2x向左平移π6个单位y=sin2x+π6=y=sin2x+π3.

方法2y=sinx向左平移π3个单位y=sinx+π3横坐标缩短到原来的12y=sin2x+π3．

8．(1)略.(2)T=4π,A=3,φ=-π4.

9．（1）ω=2,φ=π6.(2)x=12kπ+π6(k∈Z),12kπ-112π,0(k∈Z).

10.（1）f(x)的单调递增区间是3kπ-5π4,3kπ+π4(k∈Z).

(2)使f(x)取最小值的x的集合是x|x=7π4+3kπ,k∈Z.

11．（1）M=1，m=-1，T=10|k|π.（2）由T≤2，即10|k|π≤2得|k|≥5π，∴最小正整数k为16．

1．6三角函数模型的简单应用（一）

1．C.2．C.3．C.4．2sinα.5．1s.6．k·360°+2125°(k∈Z).

7．扇形圆心角为2rad时，扇形有面积m216．8．θ=4π7或5π7．

9．（1）设振幅为A，则2A＝20cm，A=10cm．设周期为T,则T2=0.5,T=1s,f=1Hz.

（2）振子在1T内通过的距离为4A，故在t=5s=5T内距离s=5×4A=20A=20×10=200cm=2(m).5s末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10cm.

10.(1)T=2πs.(2)12π次.11．（1）d-710=sint-1.8517.5π.（2）约为5.6秒.

1．6三角函数模型的简单应用（二）

1．D.2．B.3．B.4．1-22.5．1124π.6．y=sin52πx+π4.

7．95．8．12sin212，1sin12+2．

9.设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+b.由已知平均数量为800，数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A=2002=100,ω=2π12=π6,b=800,又7月1日种群数量达，∴π6×6+φ=π2.∴φ=-π2.∴种群数量关于时间t的函数解析式为y=800+100sinπ6(t-3).

10.由已知数据，易知y=f(t)的周期T=12，所以ω=2πT=π6.由已知，振幅A=3,b=10，所以y=3sinπ6t+10.

11.（1）图略.（2）y-12.47=cos2π(x-172)365，约为19.4h.单元练习

1．C.2．B.3．C.4．D.5．C.6．C.7．B.8．C.9．D.10．C.

11．5π12+2kπ,13π12+2kπ(k∈Z).12．4412.13．-3,-π2∪0,π2.14．1972π.

15.原式=(1+sinα)21-sin2α-(1-sinα)21-sin2α=1+sinα|cosα|-1-sinα|cosα|=2sinα|cosα|.

∵α为第三象限角，｜cosα｜=-cosα,∴原式＝-2tanα.

16.1+sinα+cosα+2sinαcosα1+sinα+cosα=sin2α+cos2α+2sinαcosα+sinα+cosα1+sinα+cosα

=(sinα+cosα)2+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)·(1+sinα+cosα)1+sinα+cosα=sinα+cosα.

17.f(x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x2-2sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x

=1-sin2xcos2x2(1-sinxcosx)-12sinxcosx+14cos2x

=12+12sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=12+14cos2x.

∴T=2π2=π,而-1≤cos2x≤1,∴f(x)max=34,f(x)min=14.

18.∵Aπ3,12在递减段上，∴2π3+φ∈2kπ+π2,2kπ+3π2.∴2π3+φ=5π6,φ=π6.

19.(1)周期T=π,f(x)的值为2+2，此时x∈x|x=kπ+π8,k∈Z;f(x)的最小值为2-2，此时x∈x|x=kπ-38π,k∈Z；函数的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.

（2）先将y=sinx（x∈R）的图象向左平移π4个单位，而后将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标扩大成原来的2倍，最后将所得图象向上平移2个单位.

20.（1）1π.（2）5π或15.7s.(3)略.