第一章 轴对称图形
一、轴对称与轴对称图形的区别和联系
区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，是两个图形之间的一种关系，而轴对称图形是两部分能完全重合的一个图形。
联系：两者都有完全重合的特征，都有对称轴，都有对称点。
二、轴对称的性质
1、定义——垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2、 把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
3、 把一个图形沿着一条某直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
4、 成轴对称的两个图形全等。如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
三、线段、角的轴对称性
1、 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
2、 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
3、 角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。
角平分线上的点到角的两边距离相等；
角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
四、等腰三角形的轴对称性
1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴。
2、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5、直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半。
6、三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
等边三角形的每个角都等于60°。
7、三条边都相等的三角形是等边三角形。
有两个角是60°的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
五、等腰梯形的轴对称性
1、定义——梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴。等腰梯形在同一底上的两个
相等。
3、等腰梯形的对角线相等；对角线相等的梯形是等腰梯形。 4、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
第二章 勾股定理与平方根
一、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。结论为：“勾三股四弦五”。
ａ2+ｂ2=ｃ2
2221、 如果三角形的三边长a、b、c满足ａ+ｂ=ｃ，那么这个三角形是直角三角形。
2222、 满足ａ+ｂ=ｃ的3个正整数a、b、c称为勾股数。（例如，3、4、5是一组勾股
数）。利用勾股数可以构造直角三角形。
二、平方根
1、定义——一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。也就是说，如果ｘ2=a，那么ｘ就叫做a的平方根。
2、一个正数有2个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
3、 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
4、 正数a有两个平方根，其中正的平方根，也叫做a的算术平方根。
例如：4的平方根是±2，其中2叫做4的算术平方根，记作 =2；2的平方根是± 其中 2的算术平方根。
0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即
三、立方根
1、定义——一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。也就是说，如果ｘ=a，那么ｘ就叫做a的立方根，数a的立方根记作“ ，读作“三次根号a”。
2、求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
四、实数
1、无限不循环小数称为无理数。
2、有理数和无理数统称为实数。
3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。
五、近似数与有效数字
1、例如，本册数学课本约有100千字，这里100是一个近似数。
2、对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
第三章 中心对称图形（一）
一、图形的旋转
1、定义——在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小。
2、结论——旋转前、后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
二、 中心对称与中心对称图形
1、定义——把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心。两个图形中的对应点叫做对称点。
2、一个图形绕着某一点旋转180°是一种特殊的旋转，因此，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
3、成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
4、把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
三、平行四边形
1、定义——两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
2、性质——平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
3、判断依据——一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
四、矩形、菱形、正方形
（一）矩形
1、定义——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形通常也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质。
2、性质——矩形的对角线相等且互相平分，四个角都是直角。
3、判断依据——有3个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
一个角是直角的平行四边形是矩形。
（二）菱形
1、定义——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质。
2、 性质——菱形的四条边都相等。
菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。
3、 判断依据——四边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
