第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
一、不等关系
※1、 一般地,用符号"<"(或"≤"), ">"(或"≥")连接的式子叫做不等式.
¤2、要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.
※3、准确"翻译"不等式,正确理解"非负数"、"不小于"等数学术语.
非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0
非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0
二、不等式的基本性质
※1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:
(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:
如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.
(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .
(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
如果a>b,并且c<0,那么ac
※2、比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)
一般地:
如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;
如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;
如果a
即:
a>b <===> a-b>0
a=b <===> a-b=0
a a-b<0
(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.
三、不等式的解集:
※1、能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
※2、不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.
¤3、不等式的解集在数轴上的表示:
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;
②方向:大向右,小向左
四、一元一次不等式:
※1、 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.
※2、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.
※3、解一元一次不等式的步骤:
①去分母;
②去括号;
③移项;
④合并同类项;
⑤系数化为1(不等号的改变问题)
※4、 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax
①当a>0时,解为 ;
②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;
当a=0时,且b≥0,则无解;
③当a<0时, 解为 ;
¤5、不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:
①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如"大于"、"小于"、"不大于"、"不小于"等含义;
②设: 设出适当的未知数;
③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;
④解: 解出所列的不等式的解集;
⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.
五、一元一次不等式与一次函数
六、一元一次不等式组
※1、 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
※2、一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.
几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
※3、解一元一次不等式组的步骤:
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a
一元一次不等式 解集 图示 叙述语言表达
x>b 两大取较大
x>a 两小取小
a
无解 在大小分离没有解
(是空集)
