一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，请把你认为正确的选项填入括号中。本大题共10小题，共40分.
1. 化简二次根式 等于
A. 3 B. -3 C. ±3 D.
2. 若实数x、y满足 ，则xy的值为
A. -5 B. 5 C. -6 D. 6
3. 在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形
4. 函数 的自变量x的取值范围为
A. x≠1 B. x≥-1 C. x>-1且x≠1 D. x≥-1且x≠1
5. 下列二次根式中，与 是同类二次根式的是
A. B. C. D.
6. 如图是一个中心对称图形，点A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长为
A. 4 B. C. D.
7. 菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是
A. 5 B. 20 C. 24 D. 40
8. 下列命题正确的是
A. 平行四边形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相平分
C. 菱形的对角线相等且互相平分 D. 等腰梯形的一组对边相等且平行
9. 已知点 的坐标为 ， 为坐标原点，连结 ，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得 ，则点 的坐标为
A. B. C. D.
10. 图1中的“箭头”是以AC所在直线为对称轴的轴对称图形， ， .图2到图4是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1中 的长为
A. 1 B. C. 2 D.
二、填空题：请把你认为正确的选项填入表格内.本大题共6小题，每空4分，共36分.
11. 计算： =____________， =___________， =____________.
12. 在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，若AD=5，BC=7，则EF= .
13. 一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，
∠B=90°，木板的面积为 .
14. 在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF= .
15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 .
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中， ， ， ， ，…，以 为对角线作第一个正方形 ，以 为对角线作第二个正方形 ，以 为对角线作第三个正方形 ，…，如果所作正方形的对角线 都在y轴上，且 的长度依次增加1个单位，顶点 都在第一象限内(n≥1，且n为整数).那么 的纵坐标为 ;用n的代数式表示 的纵坐标为 .
三、解答题：本大题共7小题，共44分.
17. (5分)计算： .
18. (5分)计算： .
19. (6分)已知：如图，梯形 中， ∥ ， ， ， ， ，点 为 中点， 于点 ，求 的长.
20. (6分)列分式方程解应用题：
小明乘坐火车从某地到上海去参观世博园，已知此次行程为2160千米，城际直达动车组的平均时速是特快列车的1.6倍.小明购买火车票时发现，乘坐动车组比乘坐特快列车少用6小时.求小明乘坐动车组到上海需要的时间.
21. (7分) 阅读理解：对于任意正实数 ， ， .
，只有当 时，等号成立.
结论：在 ( 均为正实数)中，若 为定值 ，则 ，
只有当 时， 有最小值 .
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若 ，只有当 时， 有最小值 .
(2)探索应用：已知 ， ，点P为双曲线 上的任意一点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 .求四边形 面积的最小值，并说明此时四边形 的形状.
22. (8分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为等边三角形，点A的坐标是( ， )，点B在第一象限，AC是∠OAB的平分线，并且与y轴交于点E，点M为直线AC上一个动点，把△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD.
(1)求直线OB的解析式;
(2)当点M与点E重合时，求此时点D的坐标;
(3)设点M的纵坐标为m，求△OMD的面积S关于m的函数解析式.
23. (7分)已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG.
(1)如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为 ;
(2)如图2，若△BEF的直角边BE在BC上，则(1)中的结论是否还成立?请说明理由;
(3)如图3，若△BEF的直角边BE在∠DBC内，则(1)中的结论是否还成立?说明理由.
图1 图2 图3
中国人民大学附属中学初二数学
质量检测卷(试卷一)
试题答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.本大题共10小题，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D A D B B C D
二、填空题：本大题共6小题，共36分.
题号 11 12 13 14 15 16
答案 6 24 3 2
三、解答题：本大题共7小题，共44分.
17. 解： 原式= …………………………………………4分
= .…………………………………………5分
18. 解：原式= …………………………………………4分
= .…………………………………………5分
19. 解：过点 作 ∥ ，交 于点 .……………………………1分
∴ .
∵ ∥ ，
∴ 四边形 为平行四边形.……………………………………2分
∴ .
∵ ，
∴ .………………………………… …3分
∵ ， ，
∴ .
∴ 在△ 中， . ……………………………………4分
又∵ 为 中点，∴ .……………………………………5分
∵ 于 ，∴ .……………………………………6分
(若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分.)
20. 解：设小明乘坐动 车组到上海需要 小时.……………1分
依题意，得 . …………………………3分
解得 . ……………………………………4分
经检验： 是方程的解，且满足实际意义. ………5分
答：小明乘坐动车组到上海需要 小时. ………6分
21. 解：(1) m= 1 (填 不扣分)，最小值为 2 ; ……………………2分
(2)设 ，则 ，
， ………………………………………………………3分
，
化简得： ， ………………………………………………4分
，
只有当 …………………………………………………5分
∴S ≥2×6+12=24.
∴S四边形ABCD有最小值24. ……………………………… ……………………6分
此时，P(3，4)，C(3，0)，D(0，4)，
∴ AB=BC=CD=DA=5，
∴ 四边形ABCD是菱形. ……………………………………………………7分
22. 解：(1)B( ， ); …………………………………………………1分
： . ………………………………………………… …2分
(2)如图1，由题意 轴， .
则点 的横坐标为 ; ……………………………………3分
此时 ，即点 ( ， ).……………………………4分
(3)过 作 轴，设 ，
如图2，当 时，
.………………………………………5分
如图3，当 时 ，由 ，∴ ， .
. ……………………………………………6分
如图4，当 时，
. ……………………………………………7分
如图5，当 时，由 ，∴ ， .
.
. ……………………………… ……………8分
∴ (四种情况讨论正确一种给1分)
23. (1)GC =EG. ……………………………………………………………1分
(2)如图，延长EG交CD于M，
易 证△GEF≌△GMD，得G为EM的中点.
易得CG为直角△ECM的斜边上的中线.
于是有GC=GE.……………………………………………3分
(3)如图，延长EG到M，使EG=GM，连 接CM、CE.
易证△EFG≌△MDG，则EF=DM、∠EFG=∠MDG.
∵∠DBE+∠DFE+∠BDF=90°，
∴∠DBE+∠GDM+∠BDF=90°. ∴∠MDC+∠DBE=45°.
∵∠EBC+∠DBE=45°， ∴∠EBC=∠MDC.
进而易证△CBE≌△CDM， ∴EC=CM、∠ECB=∠MCD.
易得∠ECM=90°， ∴CG为直角△ECM斜边EM的中线.
∴EG=GC.………………………………………………………3分
其他证法：(1)EG =CG. ………………………………………………………1分
(2)成立. ……………………………………………………………2分
证明：过点F作BC的平行线交DC的延长线于点M，连结MG.
∴EF=CM，易证EFMC为矩形 ∴∠EFG=∠GDM.
在直角三角形FMD中， ∴DG=GF， ∴FG=GM=GD.
∴∠GMD=∠GDM. ∴∠EFG=∠GMD.
∴△EFG≌△GCM.
∴EG=CG. ……………………………………………………………4分
(3)成立.取BF的中点H，连结EH，GH，取BD的中点O，连结OG，OC.
∵CB=CD，∠DCB=90°，∴ .
∵DG=GF，
∴CO=GH.∵△BEF为等腰直角三角形.
∴ . ∴EH=OG.
∵四边形OBHG为平行四边形， ∴∠BOG=∠BHG.∵∠BOC=∠BHE=90°.
∴∠GOC=∠EHG. ∴△GOC≌△EHG.
∴EG=GC. ……………………………………………………………7分
(若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分.)
