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1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.?a(a?0)?用式子表示如下：a???a(a?0)
?0(a?0)?
2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：
(1)化简 x(x?2)
解：当x=0, x=2时, x(x?2)=0;
当x<0或x>2时, x(x?2)=x(x-2)=x2-2x;
当0
(2)解方程x?x?2=6.
解：当x<0时，x=-2;
当0≤x≤2时，方程无解;
当x>2时，x=4.
∴原方程的解是：x=-2， x=4..
(3)作函数y=x?x?2的图象.
解：化去绝对值符号，得y=-2x+2 (x<0);
y=2 (0≤x≤2) ;
y=2x-2 (x>2).
分别作出上述三个函数的图象(如图)，就是函数y=x?x?2的图象.
3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离. 用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.
例如： ①解方程x?3; ②解不等式x?3; ③解不等式x+
2?3.
解：①∵x?3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，
即3和-3， ∴方程x?3的解是x=3, x=-3. ②∵x?3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式x?3的解集是 -31.(如下图)
4. 绝对值的简单性质：
①绝对值是非负数; ②两个互为相反数，它们的绝对值相等.
根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：
(1)对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的
部份，绕x轴向上翻折
作函数图象：①y=x?1 ②y=x2?x?2
(2) 当f(-x)=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵
轴对称的图象.
例如：y=x2-2x-3的图象，
可先作y=x2+2x-3自变量x<0时的图象(左半图)
再画右半图(与左半图关于纵轴对称).
(3) 把y=x的图象向上平移a个单位，所得图象解析式是y=x?a; 把y=x的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=x-3.
(4) 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便. 例题
例1. 已知方程x=ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值. 解：当x<0时，原方程为-x=ax+1, x=
∴a>-1;
当x>0时，原方程为x=ax+1, x=
∴a<1.
∵方程有一个负根并且没有正根，
∴a>-1且a≮1，
∴a
的取值范围是
a≥1. -1?0, ∴ a+1>0. a?11?0, ∴1-a>0. 1-a
例2. 求函数y=2x-3?x的最小、最大值.
解：当x<0时， y=-x+6;
当0≤x<3时，y=-3x+6;
当x≥3时， y=x-6 .
根据图象有最低点而没有最高点 ∴函数没有最大值只有最小值-3(当x=3时).
例3. 解方程：①x?2?4?x; ②x?1?x?2?4.
解：①∵点(x)到点A(-2)和点B(4)的距离相等(如下图)，
∴x=1.
②∵点(x)到点A(-1)与到点B(2)的距离的和等于4，AB=3
∴x=2.5, x=-1.5.
例4. 解不等式: ①1≤x?2≤3; ②x?1?x?2?1.
解：①点(x)到点A(-2)的距离大于或等于1而小于或等于3 在数轴上表示如图，
∴不等式的解集是： -5≤x≤-3 或-1≤x≤1
②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.
在数轴上表示，如图：
∴不等式的解集是x>1.
例5. a取什么值时，方程x?2?1?a 有三个整数解? 解：化去绝对值符号，得x?2?1=±a, x?2=1±a , x-2=±(1±a)，
∴x=2±(1±a) .
当a=1时，x恰好是三个解4，2，0.
用图象解答更直观;
(1)先作函数 y=x?2?1 图象，
(2)再作y=a(平行于横轴的直线 )与y=x?2?1 图象相交，
恰好是三个交点时，y=1,
即a=1.
本题若改为：
有四个解，则0
两个解，则 a=0 或a>1;
一个解，则a不存在;
无解，则a<0.
练习
1. 方程x?3=4的解是_______.
2. 方程x-2-x?6=0的解是________.
3. 方程x?1?x?2=3的解是________.
4. 方程x?3?x=5的解是_______.
5. 不等式2≤ x?3≤5的解集是___________________.
6. 不等式x?1?x?2<5的解集是_______________________.
7. 不等式x?1?x?2<3的解集是_______________________.
8. 不等式2x-1?x?的解集是_______________________.
9. 已知(x?3)2?3-x, 那么 ?x?x?_______________.
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