1．1 命题及其关系
1．1.1 命 题
双基达标 （20分钟）
1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是( )．
A．不是命题 B．真命题
C．假命题 D．不能判断真假
解析 考查不等式的性质，两边同加上同一个数不等式仍然成立．
答案 B
2．下列命题中是假命题的是( )．
A．若a•b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．5>3
解析 |a|＝|b|只能说明a与b长度一样．a＝b不一定成立．
答案 B
3．在下列4个命题中，是真命题的序号为( )．
①3≥3； ②100或50是10的倍数； ③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形； ④等腰三角形至少有两个内角相等．
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
解析 对于③，举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，三角形为钝角三角形．
答案 D
4．给出以下语句：
①空集是任何集合的真子集；
②三角函数是周期函数吗？
③一个数不是正数就是负数；
④老师写的粉笔字真漂亮！
⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0；
⑥作△ABC≌△A1B1C1.
其中为命题的是________，真命题的序号为________．
解析 ①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集．
②这是个疑问句，故不是命题．
③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数．
④该语句是感叹句，不符合命题定义，所以不是命题．
⑤是命题，因为Δ＝16－20＝－4<0，所以是真命题．
⑥该语句是祈使句，不是命题．
答案 ①③⑤ ⑤
5．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
解析 ①c＝0时，a不一定等于b，假命题．
②此方程无实根，假命题．
③结论成立，真命题．
④0
答案 ③ ①②④⑤
6．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．
(1)相似三角形的对应角相等；
(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数．
解 (1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．
条件p：三角形相似，
结论q：对应角相等．
(2)若a>1，则函数y＝ax是增函数．
条件p：a>1，
结论q：函数y＝ax是增函数．
综合提高 （25分钟）
7．设α、β、γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l⊂α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；③由面面平行性质定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．
答案 B
8．给定下列命题：
①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；
②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是( )．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析 ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题．
答案 B
9．下列语句是命题的是______．
①求证3是无理数；
②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的学生吗？
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立．
答案 ②④⑤
10．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋π3)的图象向右平移π6，得到y＝3sin 2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－π2)在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
解析 ①y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，∴T＝π；
②终边在y轴上的角的集合为{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}；
③两图象应有一个公共点；
④平移后y＝3sin[2(x－π6)＋π3]＝3sin 2x.
⑤函数y＝sin(x－π2)＝－cos x，在[0，π]上应是增函数．
答案 ①④
11．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(2)求证：若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；
(3)平行于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)当x＝4时，2x＋1<0.
解：(1)是命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，因此是一个假命题．
(2)不是命题，它是祈使句．
(3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．
(4)是命题，能判断真假，它是一个假命题．
12．(创新拓展)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)ac＞bc⇒a＞b；
(2)已知x、y∈N*，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当m＞14时，mx2－x＋1＝0无实根；
(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.
解 (1)若ac＞bc，则a＞b，是假命题．
(2)已知x、y∈N*，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．
(3)若m＞14，则mx2－x＋1＝0无实根，是真命题．
(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，是真命题.
